Factorización de expresiones de la forma Xn±Yn

Factorización de expresiones de la forma Xn±Yn

    Existen expresiones del tipo xn ± yn , por ejemplo x3 + 1, x5 – y5 , etc. 

Primero debemos verificar si la expresión puede ser factorizada. 

Para ello la igualamos a cero y resolvemos para una de sus variables. Si esto es posible entonces si se puede factorizar. 

En el siguiente vídeo se puede observar como se resuelve de una manera mas explicativa:

Ejemplos: X5 – y5 , X5 – y5 = 0, X5 = y5 , x=y. Si se puede factorizar. 

a4 + b4 , a4 + b4 = 0, a4 = -b4 . No es posible extraer raíz cuarta a un número negativo, por tanto no se puede factorizar.

La factorización de este tipo de expresiones es de la siguiente forma:

 xn + yn = (x + y)(xn-1 – xn-2y + xn-3y2 ….- xyn-2 + yn-1)

 xn – yn = (x - y)(xn-1 + xn-2y + xn-3y2 ….+ xyn-2 + yn-1)

 Notas: El primer factor tiene la misma operación (suma o resta) de la expresión original. 

Cuando la expresión original es una suma, los signos en el segundo factor son alternados empezando en positivo. Si la expresión original es una resta, los signos en el segundo factor son todos positivos. 

Los exponentes de la primera variable van disminuyendo, mientras que los de la segunda variable van aumentando. 

Ejemplos: Sea la expresión X5 – y5 

Ya hemos verificado que es factorizable, por tanto continuamos con el proceso: 

(x-y)(x4 – x3 y + x2 y 2 – xy3 + y4 )